i mit Worten beschrieben. . a Beim Lösen mit quadratischer Ergänzung werden die binomischen Formeln benutzt, um eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form oder in Normalform auf die Scheitelpunktform zu bringen, die dann einfach aufgelöst werden kann. = {\displaystyle d} , im normierten Fall ist auch %%10%% Meter lang ist. a = wird zum konstanten Realteil der beiden Lösungen: Aus der allgemeinen Form ergibt sich durch Umformen nach dem Verfahren der quadratischen Ergänzung: Bei Vorliegen der Normalform 2 Die zweite Formel beruht auf dem Satz von Vieta. = Gegeben ist folgende quadratische Gleichung \(f(x) = 2x^2 + 12x\) Unsere Aufgabe ist es, diese Gleichung mit Hilfe der quadratischen Ergänzung in ein quadriertes Binom umzuformen. 2 2 Wie man aus dem Bild (links) ersieht, gilt die folgende Zerlegung des Quadrats: Dies liefert sofort die Lösung in heutiger Schreibweise als. a x d ≠ Durch Erweitern mit dem Term Die Lösungen der allgemeinen quadratischen Gleichung Dazu wird die quadratische Gleichung so umgeformt, dass die linke Seite die Form − = − 64 {\displaystyle x^{2}+p=sx} + = 0 d b Die Notwendigkeit von verschiedenen Typen entsteht aus der Nichtkenntnis von negativen Zahlen und der Null. F Ein Sonderfall ergibt sich jeweils, wenn (zusätzlich) das absolute Glied fehlt. Quadratische Ergänzung Um den Extremwert eines quadratischen Terms der Form T(x) = ax² + bx + c ablesen zu können, muss der Term durch quadratische Ergänzung auf die Form T(x) = a(x – d)² + e gebracht werden. 2 a . 25 ) Ausklammern (geteilt durch das, was vor dem x² steht) 2. D − + Mit der Definition, lässt sich die Normalform somit schreiben als, Steht auf einer Seite einer Gleichung die 0, wird diese auch Nullform genannt.[1][2][3]. {\displaystyle 3x^{2}-2x=0} x ∓ 0 0 {\displaystyle a,b,c} x = Danach liegt die Gleichung in der leicht aufzulösenden Scheitelpunktform vor. Diskriminante = In Körpern und allgemeiner in Integritätsbereichen hat sie höchstens zwei Lösungen, in beliebigen Ringen kann sie mehr als zwei Lösungen haben. ( a x = b ∓ lauten: Die Formel wird in Teilen Deutschlands und der Schweiz umgangssprachlich als „Mitternachtsformel“ bezeichnet, weil Schüler sie aufsagen können sollen, selbst wenn man sie um Mitternacht weckt und nach der Formel fragt. 2 D Hier in diesem Beispiel weiß man, dass es insgesamt 40 Meter Zaun gibt, dass heißt der Umfang des Rechtecks beträgt 40 Meter, also %%2\cdot a+2\cdot b=40%%. − 2 {\displaystyle x=3} 0 3 c Ergänzt man es mit dem Quadrat ABED der Seitenlänge 5 > 2 Bitte aktiviere JavaScript um diese Website zu nutzen. s mit c , s Der oben genannte Ansatz liefert, Für die Lösung der quadratischen Gleichung ergibt sich, Die Griechen kannten keine negativen Zahlen und mussten für die quadratische Gleichung mehrere Fallunterscheidungen durchführen. und {\displaystyle 5+x=8} x 3 2 {\displaystyle x^{2}=\textstyle \sum _{i=0}^{n-1}a_{i}\varrho ^{2i}} 5 1 3 x = 2 1 0 setzt und den Nenner 2 in die Wurzel hineinzieht. b y Ausklammern (geteilt durch das, was vor dem x² steht) 2. Wir sind eine engagierte Gemeinschaft, die daran arbeitet, hochwertige Bildung weltweit frei verfügbar zu machen. {\displaystyle p=xy=210} {\displaystyle 5} x ⋅ addiert. und kann mit der binomischen Formel zu − {\displaystyle x_{1}=-2} = . Gleichungen der Art, werden bei Euklid (II 11) geometrisch gelöst; die Formen, Bei Aryabhata und Brahmagupta wird etwa um 628 n. Chr. x Schritt Nun kann die p–q-Formel angewendet werden. {\displaystyle -{\frac {e}{a}}<0} a p + Nun kann man den Scheitelpunkt %%S%% direkt ablesen und zwar: Die %%x%%-Koordinate des Scheitels ist die gesuchte Seite %%a%% des rechteckigen . {\displaystyle -{\tfrac {b}{2a}}} = = lauten die Lösungen nach der p-q-Formel, In Österreich ist diese Formel als kleine Lösungsformel bekannt.[5]. a + und Extremwertaufgabe (Quadratische Funktion): Aus einer dreieckigen Steinplatte a=0.4m und b=0.6m soll eine rechteckige mit der Länge x herausgesägt werden. Seite %%a%% in die Formel von oben ein und erhält: Also bekommt man den größtmöglichen Flächeninhalt, 2 8 x (von lateinisch „discriminare“ = „unterscheiden“) bestimmen. + 2 Quadratische Gleichungen, bei denen das lineare Glied vorhanden ist, heißen gemischtquadratische Gleichungen. {\displaystyle \mathbb {Z} /8\mathbb {Z} } ( x x 2 / Dazu muss man eine der Variablen %%a%% oder %%b%% durch die andere ausdrücken. und x {\displaystyle (5+x)^{2}} ≅ {\displaystyle a=1} − bzw. − ( Geheges, aber Vorsicht, die %%y%%-Koordinate ist nicht die Seite %%b%%, weil die Funktion %%A%% den Flächeninhalt der quadratischen Gleichung bestimmt. − > Die Anzahl der Lösungen lässt sich mit Hilfe der sog. (wegen dem Minus vor dem %%a^2%%). e ± 0 0 e Andererseits hat aber dieses Quadrat ACIG nach Konstruktion die Seitenlänge gleich null ist. = ). d 5 Das sind die x-Koordinaten unserer Extremwerte. = 2 den Wert ergibt sich, Mit {\displaystyle x^{2}+4x+3=0} ergeben sich als Lösungen nach der a-b-c-Formel. Die sechs Typen stellte er als Text dar. . {\displaystyle a} ∈ 4 ) {\displaystyle a\neq 0} a {\displaystyle bx} {\displaystyle -{\frac {e}{a}}\geq 0} x {\displaystyle y={\tfrac {s}{2}}-e} x {\displaystyle p} Dabei heißt {\displaystyle a} 2 {\displaystyle c=q} D ± Allerdings schiebt Heron den euklidischen Weg als geometrische Begründung nach. ( = = ≥ {\displaystyle a\neq 0} a b {\displaystyle D} 3 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} x q e 2 das Buch "Arithmetica integra", das auf das Buch "Behend vnnd Hubsch Rechnung durch die kunstreichen regeln Algebre so gemeincklich die Coss genennt werden" von Christoph Rudolff aufbaut. s b s d i x {\displaystyle 1} c = a {\displaystyle xy=p} ± ) und zwei Rechtecke DEHG und BCFE mit den Seiten {\displaystyle a,b,c\in \mathbb {C} } − Quadratische Ergänzung (+(b/2)²–(b/2)²) 3. und in dem Buch al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-ʾl-muqābala („Das kurzgefasste Buch über die Rechenverfahren durch Ergänzen und Ausgleichen“) sechs verschiedenen Typen von quadratischen Gleichungen dar. Quadratische Ergänzung (+(b/2)²–(b/2)²) 3. x 3 x {\displaystyle p<0} {\displaystyle x_{1}} {\displaystyle a=0} ) Sie kann wie diese durch „Rückwärtsrechnen“ gelöst werden: Zunächst subtrahiert man ± {\displaystyle d} ) , und < {\displaystyle d^{2}} , 0 − = , Dabei bedeutet Wurzel die gesuchte Lösung Extremwert eines quadratischen Terms 1 1 Zusammenfassung. Für einen endlichen Körper {\displaystyle x} , d. h., es muss 25 ( 2 ergibt sich durch Ausklammern = 5 y mit komplexen Koeffizienten ( ) 2 z hat im Restklassenring Ist die oben eingeführte Diskriminante = ), erhält man die etwas einfachere Lösungsformel. und 8 Um 1145 übersetzte Robert von Chester und etwas später Gerhard von Cremona die Schriften von al-Chwarizmi ins Lateinische.[8]. {\displaystyle b=p} {\displaystyle q} + a x {\displaystyle e} 2 2 erhält man dieselben Lösungen mit dem Satz von Vieta. a aus der obigen binomischen Formel ist dann Ein Extremwert ist ein y-Wert, und zwar jener zu dem zugehörigen x-Wert, den man Extremstelle nennt. lineares Glied und x = hat. b z und b mit Wir werden in der Reihenfolge Extremstelle, Extremwert rechnen. x erhält man eine Form der Mitternachtsformel, welche auch für den linearen Fall + {\displaystyle x^{2}+px+q=0} = Binomische Formel (rückwärts) 4. Die allgemeine Form der quadratischen Gleichung lautet. 2 2 a geometrisch gelöst werden (siehe Bild). ( = = ) = die Lösungen p 0 ) erhält man die Lösungen, Für − + Als Beispiel soll die Gleichung, wie sie bei al-Chwarizmi auftritt. − x Er hat in der Garage noch 40 Meter Maschendrahtzaun liegen und möchte mit diesem eine möglichst große Fläche für seine Tiere umzäunen. 2 2 b 2 − : Dabei stehen a,b und c für nichtnegative Koeffizienten und x für die gesuchte Lösung.[6][7]. Die beiden Lösungen lauten also. ist die alternative Form jedoch robuster gegenüber numerischer Auslöschung. {\displaystyle x_{1,2}=\pm {\sqrt {3}}} gelten. 4 erhält. x D ± , ⋅ x = = i 5 Die komplexen Lösungen sind dann. ( {\displaystyle ax^{2}+bx=0} x i Einen neuen Ansatz zur Lösung einer quadratischen Gleichung bot der Wurzelsatz von Vieta, der posthum 1615 in seinem Werk De Aequationem Recognitione et Emendatione Tractatus duo publiziert wurde. 3 In der Graphik ist schön zu erkennen, wie die erste Ableitung der Funktion an der Stelle \(x = 0\) ihr Vorzeichen wechselt. ( 1 x + 2 {\displaystyle x^{2}+210=29x} x = Z {\displaystyle 5-2=3} ( Da der Graph erst fällt (negatives Vorzeichen) und danach steigt (positives Vorzeichen), handelt es … Aus der allgemeinen Form lässt sich die Normalform durch Äquivalenzumformungen gewinnen, indem durch besprochen. 64 Dies ist die „quadratische Ergänzung“. Geometrisch beschreibt die quadratische Gleichung Als nächstes die quadratische Gleichung in die Normalform bringen. x 5 . e 2 x Danach wird auf beiden Seiten b Die Lösungen lassen sich wie im reellen Fall durch quadratische Ergänzung oder mit den oben angegebenen Lösungsformeln berechnen. oder das absolute Glied die Lösungen hat die Diskriminante den Wert d Es ergeben sich die beiden Lösungen {\displaystyle x} . 3 1 3 + c Dies führt zu, Für c 2 0 . Den Scheitelpunkt berechnet man mit Hilfe der Scheitelform: Dann verwendet man die quadratische Ergänzung mit %%10^2%%. Betrachtet wird die quadratische Gleichung. = {\displaystyle c=0} − ( {\displaystyle x_{1,2}={\frac {\left(-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}\right)\cdot \left(-b\mp {\sqrt {b^{2}-4ac}}\right)}{2a\cdot \left(-b\mp {\sqrt {b^{2}-4ac}}\right)}}={\frac {2c}{-b\mp {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}}, angibt (d. h. mit Nun stellt sich die Frage, wie man daraus eine = c b 0 (zur Herleitung siehe unten): Die Grafik zeigt den Zusammenhang zwischen der Anzahl der reellen Nullstellen und der Diskriminante: Ist der Koeffizient des linearen Gliedes {\displaystyle x^{2}+bx=c} D x a Zuerst wollen wir nötige Begriffe einführen. = 1. ϱ = und Es gelingt dem Autor durch Verwendung negativer Zahlen die Fallunterscheidung für quadratische Gleichungen zu vermeiden. (und somit der Fläche die Berechnung der Lösung (und somit der Fläche x ( + 0 {\displaystyle x=3} = {\displaystyle b^{2}-4ac} Der Term davor mit = {\displaystyle x} i ) < x {\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} } − 2 Nur wenn du in der Lage bist, diese vier Arten voneinander zu unterscheiden, kannst du das jeweils am besten geeignetste Lösungsverfahren auswählen und anwenden. {\displaystyle -1} ergibt sich daraus, Durch Addition von 2 mit der (positiven) Lösung − Die Gleichung + 0 x − + und somit a 2 {\displaystyle ax^{2}} b ( = 2 Jede quadratische Gleichung hat, wenn man komplexe Zahlen als Lösungen zulässt, genau zwei (gegebenenfalls zusammenfallende) Lösungen, auch Wurzeln der Gleichung genannt. 2 p x f 2 negativ, so ist für die Lösungen die Wurzel einer negativen Zahl zu berechnen. ϱ . {\displaystyle x=0} die Nullstellen dieser Parabel. {\displaystyle 5} x Am Schluss multipliziert man %%-1%% wieder in die Klammer. 4 c 1 = konstantes Glied (oder auch Absolutglied) der Gleichung. 0 mit {\displaystyle x_{1}=-1} 2 einer Parabel immer der Scheitelpunkt ist, man muss also diesen berechen. wenn die Seite %%a%% %%10%% Meter lang ist und die Seite %%b%% die Lösungen wegen einer Division durch Null nicht mehr liefern kann. {\displaystyle -p} Nun kann man die Flächenfunktion für a aufstellen: Da die Funktion %%A%% eine Parabel ist, besitzt sie immer einen höchsten oder niedrigsten Punkt. a und Vermögen das Quadrat der Lösung q ∓ = {\displaystyle x+y=s} 4 3 {\displaystyle x^{2}} {\displaystyle x_{1}={\frac {5}{2}}+{\frac {1}{2}}=3} {\displaystyle x_{2}={\tfrac {2}{3}}} + d Hierbei sind {\displaystyle ax+b=0} Man beachte, dass man mit dieser geometrischen Methode nicht die negative Lösung {\displaystyle x_{2}={\frac {5}{2}}-{\frac {1}{2}}=2} {\displaystyle x=\textstyle \sum _{i=0}^{n-1}a_{i}\varrho ^{i}} x q Das heißt man sucht den größten oder kleinsten Wert einer Funktion. Dadurch gelangte die Klassifizierung und die geometrischen Lösungsmethoden nach Europa. In diesem Fall kann man schnell sehen, dass die Parabel einen höchsten Punkt hat, da sie nach unten geöffnet ist = 210 , also wenn das quadratische Glied den Koeffizienten 1 hat. Beispielsweise erhält man für 210 z x 1 , durch die Zerlegung Bei Heron von Alexandria und auch bei al-Chwarizmi wird die Lösung von, verbal beschrieben; in heutiger Schreibweise als. , also muss auf beiden Seiten der Gleichung = Für betragsmäßig sehr kleine {\displaystyle s=x+y=29} = Fläche ausrechnet. i e 2 i 2 x − negativ ist, im Zahlbereich der reellen Zahlen keine Lösungen. und 0 {\displaystyle a\neq 0} bzw. b x und − 5 = {\displaystyle q} 2 − − Mit den Lösungen lässt sich das quadratische normierte Polynom in Linearfaktoren zerlegen: Liegt die quadratische Gleichung in Normalform vor und hat die Lösungen + Also überlegt man ersteinmal, wie du eine Funktion aufstellen kannst, welche die − 2 a ( 10 Wenn dies nicht der Fall ist, wird der Term mit der quadratischen Ergänzung umgeformt. Zur Nutzung der p-q-Formel wird die allgemeine Form zuerst in die Normalform überführt, indem die Gleichung durch 4 dividiert wird: Es ergeben sich nach der p-q-Formel die Lösungen. x p und Falls Lösungen existieren, dann erhält man sie in kommutativen Ringen ebenfalls mit der p-q-Formel, falls die Charakteristik des Ringes ungleich 2 ist. Koeffizienten; b b {\displaystyle b=0} a bestimmen. 2 = = 1 a {\displaystyle z_{1}=1} z 0 {\displaystyle {\sqrt {D}}=i{\sqrt {-D}}} Das Schema lässt sich dann anwenden, wenn ein quadratischer Term als binomische Formel vorliegt. b 2 a Ist der Ausdruck unter der Wurzel negativ, so existiert keine Lösung; ist er Null, so existiert eine Lösung; wenn er positiv ist, so existieren zwei Lösungen. b x 5 0 und D ≠ + Man verwendet die erste bzw. 2 , spricht man von einer reinquadratischen Gleichung. Extremwertaufgabe mittels quadratischer Ergänzung lösen Eine Extremwertaufgabe ist eine Problem- oder Fragestellung, bei der etwas unter einer bestimmten Bedingung maximiert, oder minimiert werden soll. x x ist äquivalent zu, Im reellen Fall existieren für = 5 13 2 y x a {\displaystyle 64=8^{2}} a 2 Mit Hilfe der Zerlegungen [4] In Österreich ist der Ausdruck große Lösungsformel gebräuchlich.[5]. a Funktion aufstellen, die die angegeben Problemstellung löst! {\displaystyle p} − + {\displaystyle D=b^{2}-4ac} x Die Gleichung ist in Normalform, falls 29 + 10 2 − q {\displaystyle x^{2}\pm 2dx+d^{2}} s ( und − ∑ x In der Mathematik ist Extremwert (oder Extremum; Plural: Extrema) der Oberbegriff für ein lokales oder globales Maximum oder Minimum.Ein lokales Maximum bzw.lokales Minimum ist der Wert der Funktion an einer Stelle , wenn in einer hinreichend kleinen Umgebung die Funktion keine größeren bzw. , β = x {\displaystyle z_{2}=\mathrm {i} } ) Al-Chwarizmi stellte als Erster ungefähr um 825 n. Chr. a + {\displaystyle x} und gelangt mittels {\displaystyle D=-2\mathrm {i} =(\mathrm {i} -1)^{2}} b x a 0 {\displaystyle D=p^{2}-4q} eingesetzt wird. a 2 und sonst den Wert = {\displaystyle c} {\displaystyle q} x keine reellen Lösungen. die Lösung der Gleichung. 0 {\displaystyle x_{2}} − p b {\displaystyle x={\frac {-b}{a}}} {\displaystyle a\neq 0} − − b Dabei besprechen wir das Beispiel zunächst in einer "Kurzfassung", damit … i p {\displaystyle x^{2}+10x=39} {\displaystyle x^{2}\pm 2dx} Er zeigte weiter, dass Gleichungen höheren Grades im Allgemeinen nicht ausschließlich mit Zirkel und Lineal gelöst werden können. 1 ) 1 {\displaystyle 3=(-1)(-3)} x 5 {\displaystyle (-1)+(-3)=-4} ± p a Wie muss x gewählt werden, damit die Fläche der rechteckigen Platte möglichst gross wird? ; der Funktionsgraph dieser Funktion im Kartesischen Koordinatensystem ist eine Parabel. Wie groß ist der maximale Flächeninhalt, den Peter mit seinem Zaun einschließen kann? ( dividiert wird. {\displaystyle x_{2}=5} (und somit jeweils der Fläche quadratische Funktion "basteln" kann. 64 ( In diesem Fall hier wollen wir die Fläche eines Rechtsecks ausrechnen mit den Seitenlängen a und b, deshalb kann man den Flächeninhalt %%A%% über die Flächeninhaltsformel für Rechtecke ausrechnen: %%A=a\cdot b%%. 2 Diese ist äquivalent dem Gleichungssystem 4 b = − 2 der Charakteristik 2 macht man den Ansatz x {\displaystyle \mathbb {F} _{2^{n}}\cong \mathbb {F} _{2}(\varrho )} b . . 0 Zum Beispiel hat die Gleichung = x Möchte man nun also die Seite %%b%% des Rechtecks berechnen, setzt man einfach die 2 = 1 2 ) {\displaystyle b=0} y q x 5 x x {\displaystyle \operatorname {sgn}(p)} {\displaystyle {\tfrac {c}{a}}>0} b hat keine reellen Lösungen, die komplexen Lösungen lauten 2 d Man fasst dazu die linke Seite der Gleichung auf als ein Quadrat EFIH der Seitenlänge 4 − = {\displaystyle -b\mp {\sqrt {b^{2}-4ac}}} x i c b 1 also somit ebenfalls = 1 berechnet, das heißt die %%y%%-Koordinate des Scheitels ist der größtmögliche 1 0 p mit 2 d 1 − Die komplexen Lösungen ergeben sich dann zu: Die Formel ergibt sich aus der Normalform der quadratischen Gleichung durch quadratische Ergänzung: Eine andere Möglichkeit, die Formel herzuleiten, besteht darin, dass man in der a-b-c-Formel 2 = Die quadratische Gleichung wird also »quadratisch ergänzt« zu c b 1 umgeformt werden. . + {\displaystyle x^{2}} c 1 {\displaystyle p} ) 1. als Spezialfall von {\displaystyle x} − %%A= -1 \cdot (a^2-20\cdot a+10^2-10^2)%%. Der Bauer Peter hat ein großes Grundstück und möchte auf diesem ein Gehege für seine 2 1 4 Diese Seite wurde zuletzt am 9. 2 ) 5 0 Wenn die Lösungen numerisch ermittelt werden und sich um Größenordnungen voneinander unterscheiden, kann durch folgende Variation der obigen Formeln das Problem der Auslöschung vermieden werden: Hierbei hat Lösungen der quadratischen Gleichung mit reellen Koeffizienten, Lösungsformel für die allgemeine quadratische Gleichung (, Quadratische Gleichungen in allgemeinen Ringen, al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-ʾl-muqābala, Vom Lösen quadratischer Gleichungen - pq-Formel und Mitternachtsformel und der Satz von Vieta, Lösungsverfahren für Polynomgleichung: in die Nullform, Normalform bringen, https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Quadratische_Gleichung&oldid=205347438, „Creative Commons Attribution/Share Alike“, Es gibt keine reellen Lösungen, denn die Diskriminante ist negativ. = 2 schließt man Aus der Gleichung Das Quadrat und die beiden Rechtecke werden wie im Bild gezeigt zu einem Gnomon mit den Eckpunkten BCIGDE zusammengesetzt. ist eine Variation der reinquadratischen Gleichung {\displaystyle (x+5)^{2}=64} 3 1 . a 2 p + = b ⋅ 0